다른 뜻에 대해서는 행진 문서를 참조하십시오. 행렬(行列, 영어: matrix)은 수 또는 곱하거나 더할 수 있는 것들을 네모꼴로 배열한 것으로, 이들을 괄호로 묶어 표현한다. 행렬은 선형연립방정식을 표현하는 데 자주 쓰이고, 행렬의 성질을 이용하면 방정식의 해를 구할 수도 있다. 행렬의 (i,j) 성분 aij 목차 1 정의 1.1 표시법 2 기본 연산 2.1 상등 2.2 덧셈과 뺄셈 2.3 스칼라배 2.3.1 덧셈과 스칼라곱의 성질 2.4 곱셈 2.4.1 곱셈의 성질 2.5 전치 2.5.1 전치의 성질 3 행벡터와 열벡터의 연산 4 정사각행렬의 연산 4.1 대각합 4.1.1 대각합의 성질 4.2 행렬식 5 특수한 행렬 편집 정의 행렬이란 수를 네모꼴로 배열한 것이다. 예를 들어 는 행렬이다. 행렬을 표시하기 위한 괄호는 위에서와 같이 주로 대괄호 []나 소괄호 ()를 사용하며, 행렬을 나타내는 기호는 특별히 수와 구별하기 위해 굵은 글씨체를 자주 사용한다. 행렬에서는 가로줄을 행이라고 하고, 세로줄을 열이라고 한다. 또한 행 또는 열들을 분리하여 각각 하나의 행렬로 쓴 것을 행벡터(row vector) 또는 열벡터(column vector)라 한다. 예를 들어 위의 행렬에서는 , 가 행벡터, , , 가 열벡터가 된다. 위의 예에선 행렬이 두 개의 행과 세 개의 열로 이루어져 있음을 볼 수 있는데 행과 열의 수를 특별히 강조하여 나타낼 때는 2×3 행렬이라고 부른다. 일반적으로, 어떤 행렬이 m개의 행과 n개의 열로 구성되어 있으면 m×n 행렬이라고 부른다. 그리고 행렬의 i번째 행, j번째 열에 있는 수를 행렬의 (i,j) 성분 또는 (i,j) 항((i,j) entry)이라 한다. 이를 적용하면 행벡터는 1×n 행렬, 열벡터는 m×1 행렬이라고 할 수 있다. 행 수와 열 수가 같은 항, 즉 (i, i)번째 항을 대각항(diagonal entry)로 부르기도 한다. 특별히, 행과 열의 수가 같은 행렬을 정사각행렬(square matrix)이라고 한다. 행과 열의 수를 강조할 때는 n차 정사각행렬이라고 부르기도 한다. 편집 표시법 행렬은 스칼라와 구별하기 위해 주로 굵은 글씨체의 영문 대문자를 사용하여 나타낸다. 소문자는 행렬의 성분을 나타낼 때 쓰인다. 즉, 행렬 의 (i,j) 성분은 aij로 나타낸다. 다른 표시법으로 함수처럼 이를 나타내는 , 그냥 단순히 아래 첨자를 추가하는 , 소문자 대신 굵지 않은 글씨체를 사용하는 Aij도 있다. 행렬에서 특별히 성분을 강조하여 나타낼 때는 같은 표기가 자주 쓰인다. 편집 기본 연산 편집 상등 두 행렬이 같다는 것은 행렬의 크기가 같고, 각각의 서로 대응되는 성분들이 같은것을 말한다. 즉, 두 a×b 행렬 A, m×n 행렬 B에 대해서, a = m, b = n Aij = Bij 이면 두 행렬이 같다고 하고, A = B라고 쓴다. 이 관계는 반사관계 : A = A 대칭관계 : A = B 이면 B = A 전이관계 : A = B, B = C 이면 A = C 이 성립하므로 동치관계이다. 편집 덧셈과 뺄셈 주어진 두 m×n 행렬 A와 B에 대해 덧셈 A+B는 다음과 같이 각 성분의 합으로 정의한다. 마찬가지로 주어진 두 m×n 행렬 A와 B에 대해 뺄셈 A-B는 다음과 같이 각 성분의 합으로 정의한다. 예를 들어, . 편집 스칼라배 주어진 m×n행렬 A 에 스칼라 k를 곱하는 것 kA는 다음과 같이 A의 각 성분에 스칼라 k를 곱하는 것으로 정의한다. 예를 들어, . 편집 덧셈과 스칼라곱의 성질 a와 b를 스칼라, A, B, C를 크기가 같은 행렬이라 하자. 이때 다음이 성립한다. A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C (ab)A = a(bA) (a + b)A = aA + bA (a - b)A = aA - bA a(A + B) = aA + aB a(A - B) = aA - aB 편집 곱셈 행렬 A와 B를 곱하여 행렬 AB를 얻는것을 나타내는 그림. 행렬 간의 곱은 모든 경우에 대해서 정의되는것이 아니라 다음과 같은 특수한 경우에만 정의한다. 주어진 m×k행렬 A, k×n행렬 B의 곱은 m×n행렬이 되고 각 성분은 다음과 같이 A의 행벡터와 B의 열벡터의 내적으로 정의한다. 이다. 예를 들어, . 편집 곱셈의 성질 a를 스칼라, A, B, C를 크기가 같은 행렬이라 하자. 이때 다음이 성립한다. A(BC) = (AB)C A(B + C) = AB + AC (B + C)A = BA + CA A(B - C) = AB - AC (B - C)A = BA - CA a(BC) = (aB)C = B(aC) 또한, 행렬의 곱은 교환법칙이 성립하지 않는 비가환 곱이다. AB와 BA가 모두 정의된다고 해도, 이 두 결과는 같지 않을 수 있다. AB ≠ BA 편집 전치 이 부분의 본문은 전치행렬입니다. 행렬의 전치란 행과 열을 바꾸는 것으로, 행렬 A의 전치는 AT로 나타낸다. 즉 주어진 m×n행렬 A의 전치는 다음과 같이 정의한다. 여기서 AT는 m×n행렬이 아니라 n×m행렬임에 유의하자. 예를 들어, . 편집 전치의 성질 a를 스칼라, A, B를 크기가 같은 행렬이라 하자. 이때 다음이 성립한다. (AT)T = A (A + B)T = AT + BT (A - B)T = AT - BT (aA)T = aAT (AB)T = BTAT 편집 행벡터와 열벡터의 연산 편집 정사각행렬의 연산 편집 대각합 이 부분의 본문은 대각합입니다. 대각합(trace)이란 정사각행렬의 대각항들의 원소를 전부 더하는 것을 말한다. 즉, 어떤 n차 정사각행렬 A의 대각합은 다음과 같다. 편집 대각합의 성질 c를 스칼라, A, B를 크기가 같은 정사각행렬이라 하자. 이때 다음이 성립한다. tr(AT) = tr(A) tr(cA) = c tr(A) tr(A + B) = tr(A) + tr(B) tr(A - B) = tr(A) - tr(B) tr(AB) = tr(BA) 편집 행렬식 이 부분의 본문은 행렬식입니다. 행렬식(determinant)은 det(A) 또는 | A | 로 표시하며 선형 행렬 A의 크기를 나타낸다. 행렬 2x2 행렬 A가 와 같이 주어진다면, det(A)는 det(A) = ad − bc 와 같이 정의된다. 편집 특수한 행렬 영행렬이란 행렬의 모든 원소의 값이 0인 행렬을 말한다. 영행렬은 덧셈에 대한 항등원이다. 단위행렬은 정사각행렬 중에서 행 번호와 열 번호가 같은 위치의 값은 1이고, 나머지는 0을 가지는 행렬을 말한다. 이 행렬은 곱셈에 대한 항등원이다. 역행렬이란 어떤 행렬의 곱셈에 대한 역원이다.